Геодезия — что это, предмет её изучения, задачи и структура

Кому подходит

В перечень необходимых специалисту качеств, без которых не обойтись, учитывая особенности труда геодезиста, входят:

• Терпение. Полевые работы считаются однообразными и рутинными, что предполагает постоянную необходимость самомотивации.
• Выносливость и сила. Продолжительные переходы по пересеченной местности с оборудованием в руках требует определенной физической подготовки.
• Неприхотливость. Процесс строительства происходит по плану с ограничением сроков исполнения без учета погодных сложностей, поэтому для выполнения своих обязанностей геодезисту часто приходится закрывать глаза на неблагоприятные условия работы.
• Внимательность. Деятельность предполагает проведения большого количества схожих измерений, для которых необходима сосредоточенность и скрупулезность.

Помимо этого, специалисту на стройплощадке нужно уметь общаться с коллегами, зарабатывая у них авторитет для эффективного управления процессами.

Отрасли геодезии

Геодезия – что это? Это наука, которая динамично развивается. Так, в процессе развития науки и техники она разделилась на ряд дисциплин.

Высшая геодезия изучает размеры и форму Земли, а также методы, с помощью которых можно с высокой точностью определить координаты точек поверхности планеты и изобразить их на плоскости.

Изучением размеров и форм земной поверхности с целью изображения ее на картах, профилях и планах занимается раздел геодезии — топография.

Геодезия и картография изучают процессы и методы создания и использования разнообразных карт.

Фотограмметрия занимается решением задач измерения по космическим и аэрофотоснимкам для разнообразных целей, например для обмеров сооружений и зданий, для получения планов и карт и прочее.

Прикладная, или инженерная, геодезия изучает целый комплекс геодезических работ, которые выполняются при строительстве, изысканиях и эксплуатации разнообразных сооружений и зданий.

Геометрическое соотношение между точками поверхности земли с помощью искусственных спутников Земли изучает космическая геодезия. Сейчас, в связи с тем, что появились новые достижения в области техники измерений и наблюдений, к числу исследований на Земле прибавились еще и проблемы решения научных задач по изучению размеров и формы Луны, а также остальных планет Солнечной системы и их полей гравитации.

Морская геодезия и картография занимаются решением как научных, так и прикладных геодезических задач на море. Главной задачей было и остается определение поверхности Земли и ее гравитационного поля в морях и океанах. Морская геодезия решает следующий ряд задач: строительство гидротехнических сооружений, эксплуатация и разведка подводных ресурсов и прочее. Однако важнейшей задачей подобного обеспечения является картографирование, которое сопровождается фотографированием, и геодезическая привязка.

Экзамены при поступлении

Для поступления ВУЗ на специальность геодезист следует сдавать ЕГЭ после 11 класса по предметам: русский язык, математика, физика, информатика и география. Точный список предметов зависит от ВУЗа.

Для получения среднего специального образования после 9 или 11 класса нужно предоставить аттестат и сдать ОГЭ по русскому языку, математике и еще двум предметам (на выбор).

Лучшие ВУЗы для обучения по специальности:

Основополагающий и самый престижный ВУЗ в этой области – Московский государственный университет геодезии и картографии, сокращенно МИГАиК. Немного меньшей популярностью пользуются Московский Государственный университет по землеустройству (ГУЗ) и Российский государственный геологоразведочный университет имени Серго Орджоникидзе (МГРИ-РГГРУ).

Высшее образование можно получить и в регионах в таких ВУЗах как:

• Горный университет Санкт-Петербурга
• НГАСУ-Сибстрин и СГУГиТ Новосибирска
• ДГТУ Ростова на Дону
• ТИУ (Тюмень)
• ИРНИТУ (Иркутск)
• АГАСУ (Астрахань)
• ВГТУ (Воронеж)
• БГТУ им. В. Шухова (Белгород)
• УрФУ им. Б. Ельцина (Екатеринбург)
• КФУ (Казань)
• ДВФУ (Владивосток)
• ПНИПУ и ПГНИУ (Пермь)
• СибАДИ, ГАУ им. П. Столыпина (Омск)
• Бурятская ГСХА (Улан-Удэ)
• Волгоградский ГАУ и другие

Получить среднее-специальное образование можно в колледжах, открытых при многих ВУЗах. Получить специальность техника-геодезиста можно в:

• Колледже геодезии и картографии МИИГАиК (Москва).
• Новосибирском техникуме геодезии и картографии – НТГиК СГУГиТ.
• Колледже ПетроСтройСервис (Санкт-Петербург).
• Екатеринбургском колледже транспортного строительства.
• Нижегородском строительном техникуме.
• Краснодарском архитектурно-строительном техникуме.

Свои профильные ссузы есть в Омске, Самаре, Саратове, Перми, Хабаровске, Иркутске, Кемерове и Чебоксарах.

В настоящее время научно-технический прогресс идет семимильными шагами, и специалисты-геодезисты должны соответствовать новым требованиям, читать специальную литературу и посещать курсы по повышению квалификации. Их проводят:

Современная научно-технологическая академия (СНТА г. Москва) Занимается дистанционной переподготовкой и повышению квалификации по направлению «Геодезия». Образовательная деятельность ведется на основе государственной лицензии. Дистанционные программы по переподготовке и повышению квалификации соответствуют профессиональным стандартам Министерства труда и требованиям к программам Министерства образования

• ЦППК (Центр Профессиональной Переподготовки Кадров) (дистанционно, без отрыва от работы), есть возможность получить профессию геодезиста дистанционно за 1-3 месяца. При этом выдается диплом о профессиональной переподготовке установленного государством образца.
• Межрегиональная Академия строительного и промышленного комплекса(МАСПК) организует курсы профессиональной переподготовки по специальности «Геодезия». Дипломированные геодезисты также могут пройти в МАСПК курсы повышения квалификации. Обучение ведется дистанционно.

Обучение профессии включает наличие математики, начертательной геометрии, географии и геологии. Профессия техническая и предполагает технические дисциплины. Гуманитариям здесь делать нечего.

Сама специальность геодезист дышит романтизмом. По окончании первого курса начинаются летние практики, где на выезде (в поле) отрабатываются полученные знания и навыки. Студенты живут в палатках, провожают закаты сидя у костра. Исследуют неизвестные до этого территории.

Востребованность и уровень зарплаты

Данная профессия считается очень престижной, ответственной и уважаемой, поэтому и оплачивается она соответствующим образом. В каждой строительной компании должен быть сертифицированный геодезист, в землеустроительной организации не обойтись без кадастрового инженера, а горнодобывающие компании просто не могут без маркшейдера.

На протяжении последних нескольких лет наблюдается явный спрос на представителей данной профессии, а сама геодезия стремительно развивается. Также особенно сильно наблюдается нехватка инженеров-геодезистов в строительной сфере.

Молодым выпускникам следует учесть, что работодатели проводят крайне тщательный отбор будущих сотрудников, поскольку степень ответственности на этой должности очень высока. При этом они будут учитывать не только наличие диплома, но и опыта

Для них в первую очередь важно то, как хорошо работает геодезист и с какой скоростью. Если в годы обучения студенту посчастливилось поработать на предприятии, то это будет несомненным плюсом

Молодой инженер, как правило, будет зарабатывать от 10 до 20 тыс. рублей первые 2-3 года, а вот доход опытного специалиста уже превышает 50 тысяч рублей. Кроме того, он может работать и по договору, получая от 10% до 35% от стоимости заказа.

Основные разновидности и задачи геодезии

Существуют основные разновидности геодезии:

1. Топография – описание поверхности земли.
2. Прикладная геодезия – это инженерная геодезия, применяемая в строительстве. Включает в себя технологию и организацию проведения работ для решения инженерных и строительных задач.
3. Гидрография – разновидность геодезии, изучающая водные пространства.
4. Высшая геодезия — это наука, которая включает в себя методы высокоточных геодезических измерений.
5. Аэрофотогеодезия – методики создания карт с помощью аэрофотосъёмок.
6. Маркшейдерское дело – разновидность геодезии, включающая в себя строительство тоннелей и горнодобывающую индустрию.
7. Астрономогеодезия – это наука, исследующая определение на планетах искусственных и естественных объектов. Все нужные исследования проводятся с использованием высоких технологий.
8. Кадастр – учёт и оценка объектов инженерной деятельности и природных ресурсов.

К перечню основных задач геодезии при проектировке и подготовительных действиях инженерного характера относятся:

1. Инженерные геодезические расчёты, направленные на проектирование зданий и сооружений.
2. Геодезические расчёты для создания проектировочной документации.
3. Разбивочные работы в процессе строительства – создание разбивочной основы на местности, вынос осей здания в натуру, детальные разбивки.
4. Геодезические сверки при монтаже или завершении строительства.
5. Контроль за строительным процессом и эксплуатацией объекта, дальнейшее наблюдение за его возможной деформацией.
6. Проведение исполнительных съёмок в процессе строительной деятельности.

Прикладная геодезия

Данные, полученные геодезистами, применяются в навигации, картографии, землепользовании. К примеру, их можно использовать для определения зоны затопления при строительстве плотины. Кроме того, геодезия позволяет определять точное положение различных административных и государственных границ. Большое значение имеет геодезия в строительстве, навигации и создании стратегических систем.

Геодезические исследования широко применяются для изучения тектонических движений в сейсмологии с применением высоких технологий и оборудования.

Определение

Это наука, которая занимается изучением поверхности планеты Земля, дает характеристику ее свойств, пользуясь самыми различными методами и способами. Если перевести слово с греческого языка буквально, то получится земледеление, поскольку гео – в переводе с греческого означает земля, а дезия – делить.

Во времена Древней Греции, когда зародился этот термин, он полностью отображал суть науки, ведь землю тогда постоянно делили между странами и империями. Сегодня направление включает гораздо больше процессов и задач, поэтому точный перевод не используется.

Сегодня к геодезии относится землемерие в различном его проявлении и все способы измерений, целью которых является определение размеров и формы земельных участков. Ученые, которые работают в данной области, называются геодезистами.

Их поле деятельности весьма обширно:

• применение новых способов создания земельных карт,
• использование разнообразных методов измерения пространства: на поверхности, под водой, над землей, в космосе,
• измерение объектов, которые находятся на земной поверхности и нанесение их на карты.

Ученый Витковский считал, что это одна из наиболее полезных и необходимых наук, поскольку существование человечества ограничено пространством Земли, и изучить ее структуру и устройство необходимо.

Задачи и виды науки

С развитием технологий, данная наука также изменяется, как ее процессы и задачи, например, сегодня все данные должны пропускаться через компьютерные системы. Чтобы ответить на вопрос, для чего нужна геодезия, необходимо понять, что поставленные перед ней задачи делятся на фундаментальные и прикладные.

Все процессы, связанные с изучением планеты и ее гравитационного поля в целом, являются фундаментальными.

Эта группа ученых занимается:

• переносом данных и параметров различных земельных участков на карты и топографические планы,
• изучением тектонических плит и их движения,
• созданием единой системы координат и отображение ее на поверхности Земли.

Прикладная группа занимается решением практических задач, которые позволяют проводить различные земельные работы:

• создание геоинформационных систем и их использование,
• работа с кадастровыми планами (создание и обработка),
• накопление точных топографических данных.

Измерительные процессы, работа с системами координат, создание топографических документов – все это прикладная геодезия, а все действия с землей – это геодезические работы.

Из-за обширности задач науки, ее разделили на виды:

1. Высшая геодезия – это главное направление науки, которое изучает строение планеты Земля, ее характеристики, а также ее координаты и характеристики в космосе. К ней также относят: геодезическую астрономию — которая занимается сбором астрономических данных за планетой, гравиметрию — наблюдения за движениями земной коры, тектонических плит и горных пород, космическую геодезию — применение космических аппаратов для изучения характеристик Земли.
2. Топография – сюда входят все действия по работам с картами: перенесение местности на бумагу, а также нанесение на нее реальных объектов. Эта отрасль занимается измерением и описанием земли на бумаге, причем, как в глобальных масштабах (атласы, карты), так и в более мелких (измерение местности и составление кадастровых планов, помощь в строительстве).
3. Картография – эту отрасль можно отнести к топографии, учитывая то, что картография занимается исключительно созданием карт любых масштабов.
4. Фотограмметрия съемка поверхности Земли фотографическими аппаратами, установленными на самолетах, спутниках, для создания документов (карт, атласов, кадастров).
5. Инженерная или строительная геодезия самая популярная, современная отрасль, занимающаяся изысканиями для возведения любых сооружений.
6. Маркшейдерия – занимается изучением подземных ресурсов, на основании данных исследований затем проводятся подземные работы шахтерами.
7. Гидрография – картографирование и методы изучения поверхности земной коры в морях и океанах.

Все процессы, связанные с изучением земельного ресурса, необходимы не только для лучшего понимания устройства планеты Земля, но и для повседневных земляных работ.

Как получить профессию геодезиста

Профессия «геодезист» набирает обороты и стране требуется все больше и больше специалистов. Получить профессию можно в высших учебных заведениях и колледжах. В первом случае абитуриенты учатся от 4.5 до 6 лет в зависимости от выбранной специальности и выходят квалифицированными специалистами.

За период обучения в ВУЗах студенты получают багаж знаний, необходимый в дальнейшей работе. Приобретается множество навыков и знаний:

• Проведение полевых и камеральных топографических и геодезических работ, аэрофотосъемка.
• Составление карт на основе аэрофотосъёмок.
• Умение работать на специализированных приборах – теодолите, нивелире, «тарелке» (GPS-приемнике).
• Расшифровка информации с видео и фотоматериалов, а также фотосъемки со спутников.
• Работа в специализированных компьютерных программах Credo и Auto CAD.
• Построение 3Д моделей земной поверхности, инженерных сооружений применительно к особенностям ландшафта.
• Отрисовка топографических и кадастровых карт.
• Изучение нормативных актов ГОСТов и СНиПов по строительному и земельному делу.

Но в связи с высокой ответственностью работы геодезиста, выпускников могут взять только на должность помощника. Дальнейший рост выпускника зависит от его старательности и личных качеств.

Обучение в специализированных колледжах походит по сокращенной программе и длится всего 3.5 года. Абитуриенты принимаются после 9 и 11 классов. Однако при желании и хорошей успеваемости есть возможность переводы в высшее учебное заведение. В процессе обучения абитуриенты проходят такие дисциплины, как математика, физика, география и геология.

После окончания колледжа приобретаются специальности техника-геодезиста, техника-картографа, топографа и другие. Специальность прикладная и очень востребована в наши дни.

При выборе специальности геодезист еще в школе стоит уделить больше внимания таким общеобразовательным предметам, как русский язык, информатика, математика, история, география и обществознание. Поступление в ВУЗ требует хорошего знания этих предметов.

Что входит в комплекс инженерно-геодезических исследований

Мы организовываем все популярные виды геодезических исследований в Москве и области:

• топосъемка. Базовые исследования, которые выступают основой для проектирования строительства большинства жилых и нежилых сооружений. Масштаб планов и карт зависит от целей клиента. Топосъемка служит основой для остальных исследований;

• вынос границ участка. Наши специалисты определят, где заканчивается земельный надел. Услуга требуется для решения конфликтных ситуаций с соседями, возведения ограждений в подходящем месте и определения стройплощадки с учетом расстояний к смежным территориям;

• фасадная съемка. Мы займемся изучением внешних поверхностей сооружения, после чего предоставим клиенту отчеты, на основе которых можно рассчитать требуемое для монтажа количество стройматериалов. Кроме того, услуга дает возможность восстановить фасад исторически ценных объектов во время их реконструкции;

• вынос точек и углов в натуру. Эта разновидность инженерно-геодезических изысканий позволяет возвести конструкцию точно в задуманном месте. Благодаря этому у владельца не возникнет проблем с контролирующими органами при сдаче строения в эксплуатацию. Если ранее проводились геологические исследования, вынос точек и углов в натуру поможет увеличить ресурс здания (объект будет возведен на участке с высокими несущими характеристиками);

• подеревная съемка. Она позволяет получить планы и карты местности, на которых мы укажем расположение и габариты зеленых насаждений. Без этой услуги не получится получить порубочный билет, также она пригодится для благоустройства территории, озеленения участка и разработки дизайн-проект ландшафта;

• контрольно-исполнительная съемка. Геодезические изыскания для строительства, проведенные нашими сотрудниками, помогут владельцу своевременно обнаружить отклонения существующего здания от проекта. Затем мы продумаем меры, позволяющие устранить допущенные строителями недочеты (если это необходимо). Чем сложнее возводится объект, тем чаще необходимо привлекать специалистов для проведения контрольно-исполнительной съемки;

• нивелирование поверхностей. Услуга дает возможность проконтролировать ровность котлована, фундамента и перекрытий в ходе их монтажа. Это увеличивает несущие характеристики сооружения.

Также в геодезические изыскания входят гидрографическая съемка, профилирование, разбивка территории, составление геоподосновы и пр. Каждая такая услуга будет актуальной на различных стадиях монтажа и эксплуатации сооружения. Проводиться проверки могут в обязательном или добровольном порядке. Сотрудники нашей компании выполнят инженерные работы в комплексе или по отдельности, их порядок и объем зависят от пожеланий и целей клиента. Регулярное привлечение геодезистов на территорию стройплощадки гарантирует отсутствие проблем как с самим объектом, так и с контролирующими органами.

Геодезические работы и их виды

Однозначно ответить на вопрос, что такое геодезические работы, нельзя, поскольку существует множество самых разных определений данного понятия. Наиболее приближенное к истине определение – это все работы, которые проводятся в процессе возведения различных инженерных и гидротехнических сооружений.

Они делятся на два типа:

1. Полевые – измерение и описание земной поверхности на местности.
2. Камеральные – последующая обработка полученных на местности данных.

Такие работы могут быть предварительными, или начатыми до начала строительства и попутными, которые осуществляются в процессе стройки. Независимо от сроков выполнения, осуществляется попутный контроль в виде наблюдения за деформацией грунтов и замеров необходимых параметров.

Различают следующие виды геодезических работ:

1. Топографо-геодезические – в данный вид входит создание всех возможных картографических схем, а также определение построение будущего сооружения. Вычисления осуществляют при возведении жилых комплексов, крупных инженерно-строительных сооружений, а также переустройстве городов. При этом, все съемки проходят в определенных строгих масштабах, соответствующим объектам, будь то населенные пункты или промышленные зоны с транспортными узлами.
2. Разбивка – это разделение площади на квадраты с закрепленными вершинами, установка геодезических знаков и разработка разбивочных чертежей, которые выполнены в общепринятых государственных форматах и облегчают процессы строительства, а также обеспечивают гарантированный контроль качества. После проведения разбивки результаты направляются подрядчику застройки вместе с чертежами.
3. Исполнительная съемка – проводится в течении всего строительства и фиксирует строящиеся объекты и их точное расположение. Съемка относится к контролирующим процессам и обеспечивает своевременное получение информации о проходящем строительстве, а также соответствию будущего строения требованиям ГОСТ. При этом особо пристально следят за теми частями зданий, которые обеспечивают устойчивость всего сооружения.
4. Мониторинг деформативности – это еще один контролирующий процесс, который заключается в тщательном наблюдении за возможными отклонениями в сооружениях от установленных параметров во время строительства. Мониторинг проводится поэтапно, как и процесс стройки: при заливке фундамента, на каждый отстроенные пять этажей, после окончания стройки. Во время мониторинга особо пристально следят за фундаментом (нет ли прогибов и кренов), самой осадкой здания и его креном, а также отклонениями частей от монолита.
5. Контроль подземных сетей – осуществляется до, вовремя и после возведения сооружений. Контроль за проседанием здания необходим постоянный, поскольку на данный процесс влияет множество факторов, как человеческих, так и природных. Путем съемки фиксируются все коммуникации (колодцы, дренажи) и их параметры, а также стыковка с другими ранее проложенными сетями и коммуникациями.

Геодезия в строительстве – это необходимость и гарантия безопасности, поэтому нельзя пренебрегать ею в целом или отказываться от какого-либо процесса. Экономия в данном случае может быть трагична.

Технологии

То, как осуществляют измерения, зависит от их типа, но в целом, любое строительство осуществляется по определённой схеме.

Технология геодезических работ такова:

1. Выбор территории для строительства: проводят геологические изыскания, рассматривают рельеф, состав и характеристику грунта, и окружающие территории.
2. Привязка будущего объекта к уже построенному. Особенно актуален этот пункт в больших городах, где застройка ведется в тесных условиях. Задаче геодезистов – правильно спланировать размещение будущего объекта.
3. Перенос местности на топографических картах. На этом этапе создается подробный план застройки и отображение всех существующих объектов на нем.
4. Изучение движения земной коры: определяются сейсмически устойчивые участки земли, зависимость сдвигов от природных условий и прочих факторов. На основе результатов исследования разрабатываются планы строительства и применяются соответствующие технологии.

Во время замеров и подсчетов используют специальные, чаще электронные, инструменты, среди которых:

• нивелир инструмент помогает измерить высоты точек объекта,
• тахометр – с помощью этого прибора строители измеряют углы и высоты точек в пространстве,
• теодолит – выпускается двух разновидностей: оптический и электронный, помогает правильно измерять углы в пространстве.

История профессии

Термин «геодезия» в переводе с древнегреческого буквально означает «деление земли». Как наука, занимающаяся определением характеристик планеты (конфигурации и параметров), геодезия берет начало во времена Пифагора (570–497 гг. до н. э.), который, по-видимому, первым и определил размеры шарообразной Земли. В дальнейшем это направление развилось в теоретическую геодезию, которой немецкий ученый Фридрих Роберт Гельмерт (1843–1917 гг.) дал название «высшая».

Хотя древние, вавилонские, аналоги журнала геодезиста, выполненные на глиняных табличках, археологи датируют еще VII в. до н. э., а трехмерные макеты и рисованные планы использовали инки в XV–XVI веках, практическая (или «низшая») геодезия как отдельная область знаний и умений со своей методологией начинает формироваться к XVII веку. В 1617 году голландский математик и астроном Виллеброрд Снелл (Снеллиус) предложил для геодезических измерений метод триангуляции. Позднее появились методы трилатерации, полигонометрии, фототриангуляции. Но и триангуляция сохранила актуальность вплоть до наших дней как основная методика в создании государственных геодезических сетей, пока не была потеснена появлением GPS-технологий в их современном виде.

В царской России активное развитие картографии и геодезии начинается с указа Петра I 1720 года. В СССР этапным событием становится учреждение декретом Совнарома в 1919 году «Высшего геодезического управления». Многочисленные структурные и ведомственные переподчинения привели к тому, что в 1992 году (уже в современной России) была сформирована «Федеральная служба геодезии и картографии», а позднее – «Федеральная служба государственной регистрации, кадастра и картографии» с территориальными органами в субъектах РФ. Профессиональный праздник с 2000 года геодезисты отмечают во второе мартовское воскресенье.

Определение

Слово геодезия происходит от древнегреческого слова γεωδαισία geodaisia (буквально «разделение Земли»).

Это в первую очередь связано с позиционированием в пределах изменяющегося во времени гравитационного поля . Геодезия в немецком мире -speaking делится на «высшей геодезии» ( « Erdmessung „или“ höhere Geodäsie „), которая связана с измерением Земли в глобальном масштабе, и „практической геодезии“ или „инженерной геодезии“ (“ Ingenieurgeodäsie » ), который связан с измерением определенных частей или регионов Земли и включает в себя съемку . Такие геодезические операции также применяется к другим астрономическим телам в Солнечной системе . Это также наука об измерении и понимании геометрической формы Земли, ориентации в пространстве и гравитационного поля.

В значительной степени форма Земли является результатом вращения , которое вызывает ее экваториальную выпуклость , и конкуренции геологических процессов, таких как столкновение плит и вулканизма , которым противодействует гравитационное поле Земли. Это относится к твердой поверхности, жидкой поверхности ( динамическая топография морской поверхности ) и атмосфере Земли . По этой причине изучение гравитационного поля Земли называется физической геодезией .

Геодезические проблемы

В геометрической геодезии существуют две стандартные задачи — первая (прямая или прямая) и вторая (обратная или обратная).

Первая (прямая или прямая) геодезическая задача

Зная точку (с точки зрения ее координат), направление ( азимут ) и расстояние от этой точки до второй точки, определите (координаты) этой второй точки.

Вторая (обратная или обратная) геодезическая задача

По двум точкам определите азимут и длину линии (прямой, дуги или геодезической ), которая их соединяет.

В плоской геометрии (справедливой для небольших участков на поверхности Земли) решения обеих задач сводятся к простой тригонометрии . На сфере, однако, решение значительно сложнее, потому что в обратной задаче азимуты будут отличаться между двумя конечными точками соединяющего большого круга , дуги.

На эллипсоиде вращения геодезические можно записать в терминах эллиптических интегралов, которые обычно вычисляются в терминах разложения в ряд — см., Например, формулы Винсенти . В общем случае решение называется геодезической для рассматриваемой поверхности. В дифференциальных уравнениях для геодезического могут быть решены численно.